Сумма геометрической прогрессии зависит от ее параметров и количества слагаемых. Рассмотрим основные формулы для вычисления суммы в различных случаях.
Содержание
Основные понятия
| Термин | Обозначение | Описание |
| Первый член | b₁ | Начальное значение прогрессии |
| Знаменатель | q | Постоянное отношение последующего члена к предыдущему |
| Число членов | n | Количество слагаемых в сумме |
Формула суммы конечной геометрической прогрессии
Для прогрессии b₁, b₂, ..., bₙ с знаменателем q ≠ 1 сумма Sₙ вычисляется по формуле:
Sₙ = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q)
Частные случаи:
- При q = 1: Sₙ = n·b₁
- При q > 1 можно использовать альтернативную форму: Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1)
Примеры вычислений
| Прогрессия | Параметры | Сумма 5 членов |
| 2, 4, 8, 16, ... | b₁=2, q=2 | 2(1-2⁵)/(1-2) = 62 |
| 3, -6, 12, -24, ... | b₁=3, q=-2 | 3(1-(-2)⁵)/(1-(-2)) = 33 |
| 5, 5, 5, 5, ... | b₁=5, q=1 | 5·5 = 25 |
Сумма бесконечной геометрической прогрессии
При |q| < 1 сумма бесконечной прогрессии S вычисляется по формуле:
S = b₁/(1 - q)
Примеры:
- 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1/(1-1/2) = 2
- 9 - 3 + 1 - 1/3 + ... = 9/(1-(-1/3)) = 6.75
Вывод формулы суммы
Формула выводится следующим образом:
- Запишем сумму: Sₙ = b₁ + b₁q + b₁q² + ... + b₁qⁿ⁻¹
- Умножим обе части на q: qSₙ = b₁q + b₁q² + ... + b₁qⁿ
- Вычтем из первого равенства второе: Sₙ - qSₙ = b₁ - b₁qⁿ
- Вынесем Sₙ за скобки: Sₙ(1 - q) = b₁(1 - qⁿ)
- Получим итоговую формулу: Sₙ = b₁(1 - qⁿ)/(1 - q)
Применение формул суммы
| Область | Пример использования |
| Финансы | Расчет сложных процентов по вкладам |
| Физика | Вычисление расстояния при затухающих колебаниях |
| Биология | Моделирование роста популяции |
| Компьютерные науки | Анализ алгоритмов с уменьшающейся сложностью |
Графическая интерпретация
Для прогрессии с 0 < q < 1 график частичных сумм демонстрирует быстрый рост вначале с последующим выходом на плато (для бесконечной суммы). При q > 1 график показывает экспоненциальный рост.
Проверка правильности вычислений
Для проверки можно:
- Сравнить результат с непосредственным суммированием членов
- Использовать математическое программное обеспечение
- Проверить выполнение соотношения Sₙ = Sₙ₋₁ + bₙ
