В геометрии существует важная теорема, связывающая длины медиан треугольника с длинами его сторон. Рассмотрим доказательство этого утверждения.
Содержание
Формулировка теоремы
Сумма квадратов медиан произвольного треугольника равна 3/4 суммы квадратов его сторон:
- ma2 + mb2 + mc2 = (3/4)(a2 + b2 + c2)
Обозначения
| Обозначение | Описание |
| a, b, c | Длины сторон треугольника |
| ma, mb, mc | Длины медиан к соответствующим сторонам |
Доказательство через формулу длины медианы
- Используем формулу длины медианы: ma = ½√(2b² + 2c² - a²)
- Возводим в квадрат: ma² = (2b² + 2c² - a²)/4
- Аналогично для других медиан:
- mb² = (2a² + 2c² - b²)/4
- mc² = (2a² + 2b² - c²)/4
- Складываем все три равенства:
- ma² + mb² + mc² = (3a² + 3b² + 3c²)/4
- Выносим общий множитель:
- ma² + mb² + mc² = (3/4)(a² + b² + c²)
Альтернативное доказательство через координаты
Рассмотрим треугольник ABC в декартовой системе координат:
- Поместим точку A в начало координат (0,0)
- Точка B имеет координаты (b,0)
- Точка C имеет координаты (p,q)
- Найдем координаты середин сторон
- Вычислим длины медиан через координаты
- Просуммируем квадраты длин медиан
- Сравним с суммой квадратов сторон
Следствия из теоремы
| Следствие | Описание |
| Для равностороннего треугольника | Сумма квадратов медиан равна 9/4 стороны в квадрате |
| Для прямоугольного треугольника | Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы |
